Société de
Calcul Mathématique, SA |
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Madame, Monsieur, Nous vous proposons l'ouvrage : Méthodes Probabilistes pour la Gestion des Risques Extrêmes par Bernard Beauzamy |
ISBN : 978-2-9521458-9-3, ISSN : 1767-1175. Dimensions 15,3 x 24 cm. Relié, 208 pages.
Présentation
Ce livre ne peut être considéré comme "élémentaire", ni "self-contained". Beaucoup d'auteurs prétendent que leurs ouvrages sont accessibles à un étudiant, niveau bac, licence tout au plus, et que le volume qu'ils écrivent comporte tout ce dont le lecteur a besoin. Entré avec un cerveau vierge, le lecteur en ressortirait tout bardé de science. Le livre proposé serait un phare éclairant un océan de confusion.
Ce n'est clairement pas le cas ici ; celui qui tentera de lire le présent travail sans avoir les bases requises n'y comprendra pas grand'chose. La raison fondamentale de cette difficulté est évidente : nous essayons de décrire une loi de la Nature ; ces lois ne sont jamais simples et nous n'y sommes pour rien. Le mathématicien n'est que l'interprète, très malhabile, des lois de la Nature.
La loi dont nous traitons ici concerne les phénomènes extrêmes : séismes, inondations. Il ne s'agit pas de les prévoir de manière déterministe (tel jour à telle heure), mais de manière probabiliste : combien en moyenne par an ? C'est plus vague, mais cela reste une loi de la Nature.
Pour y parvenir, l'outil employé est la Théorie des Probabilités : l'objet d'étude étant probabiliste, ce cadre s'impose naturellement. On dispose d'une information, généralement le nombre d'occurrences du phénomène au cours d'un historique plus ou moins long. Il s'agira donc de probabilités conditionnelles, déjà un peu plus complexes que les probabilités ordinaires.
L'objet d'étude est lui-même une probabilité : la probabilité de rencontrer un séisme une année donnée. Nous voulons pour cette probabilité non seulement une estimation (elle est à peu près de tant), mais aussi un intervalle de confiance (elle est à 95% entre telle valeur et telle valeur). Autrement dit, cette probabilité inconnue sera elle-même traitée comme une variable aléatoire (appelée Taux de Risque), dont nous chercherons la densité. Voilà qui complique singulièrement les concepts.
Mais un séisme ou une inondation ne se décrivent pas de manière booléenne : il y en a ou il n'y en a pas, zéro ou un. Ils peuvent prendre diverses valeurs, ou magnitudes. Il y aura donc des classes de magnitude, et chaque classe aura son taux de risque. Voilà qui complique encore.
Une inondation peut affecter une large zone, et on voudra évaluer la probabilité qu'elle concerne une étendue donnée, avec diverses magnitudes selon les endroits. Pour cela, l'outil de base en probabilités se nomme "loi conjointe". On a normalement recours à une fonction de plusieurs variables et la loi conjointe se calcule au moyen d'intégrales multiples. Mais ici l'ensemble d'intégration est donné par un ensemble d'inégalités entre les variables ; il s'agit d'un "simplexe". Ce nom est bien mal choisi (mais il est consacré par l'usage), parce que ce simplexe est ici particulièrement complexe !
En sus des difficultés normalement inhérentes à la Théorie des Probabilités, nous avons donc à traiter de probabilités conditionnelles, et d'intégrales multiples en plusieurs variables sur des ensembles peu engageants. C'est ainsi et nous n'y pouvons rien !
En effet, ce que nous présentons peut s'appeler un "modèle minimal" ; nous faisons un nombre très restreint d'hypothèses, et notre construction s'efforce de décrire au mieux la réalité, avec ce petit nombre d'hypothèses. C'est parce qu'elles sont très faibles et très peu nombreuses qu'il faut travailler beaucoup. A l'inverse, on aurait pu faire une hypothèse très forte, comme le font beaucoup d'auteurs : déclarer par exemple que tout est linéaire, que tout suit une loi de Gauss, ou ce que l'on voudra. Alors la mise en place devient simple et tout le monde est content … si ce n'est que l'hypothèse de départ n'est pas correcte.
Les prérequis pour la lecture du présent ouvrage sont nos deux ouvrages précédents : [MPPR] Méthodes probabilistes pour l'étude des phénomènes réels, qui est très élémentaire, et [NMP] Nouvelles méthodes probabilistes pour l'évaluation des risques, qui l'est un peu moins.
Le bagage nécessaire pour la compréhension des intégrales multiples sur les simplexes est au moins du niveau Master 2. Il se trouve normalement dans les cours avancés de Théorie de l'Intégration.
Un point intéressant, susceptible de rassurer certains lecteurs, est que si le présent ouvrage est conceptuellement difficile, il est techniquement très simple. Ce sont les concepts qui posent problème, et non les calculs à faire. Par exemple, les intégrales portent généralement sur des monômes, quelquefois sur des polynômes. En tout cas, ce sont toujours des fonctions continues, pour lesquelles il n'y a aucun problème de définition.
Même si les concepts sont difficiles, ils peuvent à la fin être enfermés dans une "boîte noire" qui fera les calculs, si on lui fournit en entrée les données d'observation. Il en va de même généralement des lois de la physique : même si les équations de Navier-Stokes sont complexes, on peut les programmer sur un ordinateur qui les résoudra, au moins de manière approximative. Nous montrons ici comment programmer les calculs, de manière tout à fait opérationnelle.
Le but du présent ouvrage est simple à décrire : à partir d'un ensemble d'observations relatives à un phénomène, déterminer la loi de probabilité du taux de risque qui lui est associé.
Après une introduction, qui présente les généralités sur les situations rares et la manière dont la société les aborde en général, le livre est organisé en deux parties :
La première partie développe l'outil mathématique, au travers d'un exemple, celui des températures à Paris. Les données sont réelles, et ne sont nullement académiques, mais elles sont considérées comme exactes.
La seconde partie présente un exemple d'utilisation : calculs des probabilités de crues sur la Vienne et la Creuse, à partir des données contenues dans la "Banque Hydro". Ce travail a été mené à bien dans le cadre d'un contrat avec COSEA (Ligne à grande vitesse Sud Europe Atlantique), consortium mené par Vinci Construction Grands Projets. Une bonne partie du travail consiste en l'examen critique des données, et, comme on le verra, ce n'est nullement inutile.
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