Société de Calcul Mathématique, SA




Madame, Monsieur,

Nous vous proposons l'ouvrage :

Méthodes Probabilistes pour la Gestion des Risques Extrêmes

par Bernard Beauzamy

ISBN : 978-2-9521458-9-3, ISSN : 1767-1175. Dimensions 15,3 x 24 cm. Relié, 208 pages.

Présentation

Ce livre ne peut être considéré comme "élémentaire", ni "self-contained". Beaucoup d'auteurs prétendent que leurs ouvrages sont accessibles à un étudiant, niveau bac, licence tout au plus, et que le volume qu'ils écrivent comporte tout ce dont le lecteur a besoin. Entré avec un cerveau vierge, le lecteur en ressortirait tout bardé de science. Le livre proposé serait un phare éclairant un océan de confusion.

Ce n'est clairement pas le cas ici ; celui qui tentera de lire le présent travail sans avoir les bases requises n'y comprendra pas grand'chose. La raison fondamentale de cette difficulté est évidente : nous essayons de décrire une loi de la Nature ; ces lois ne sont jamais simples et nous n'y sommes pour rien. Le mathématicien n'est que l'interprète, très malhabile, des lois de la Nature.

La loi dont nous traitons ici concerne les phénomènes extrêmes : séismes, inondations. Il ne s'agit pas de les prévoir de manière déterministe (tel jour à telle heure), mais de manière probabiliste : combien en moyenne par an ? C'est plus vague, mais cela reste une loi de la Nature.

Pour y parvenir, l'outil employé est la Théorie des Probabilités : l'objet d'étude étant probabiliste, ce cadre s'impose naturellement. On dispose d'une information, généralement le nombre d'occurrences du phénomène au cours d'un historique plus ou moins long. Il s'agira donc de probabilités conditionnelles, déjà un peu plus complexes que les probabilités ordinaires.

L'objet d'étude est lui-même une probabilité : la probabilité de rencontrer un séisme une année donnée. Nous voulons pour cette probabilité non seulement une estimation (elle est à peu près de tant), mais aussi un intervalle de confiance (elle est à 95% entre telle valeur et telle valeur). Autrement dit, cette probabilité inconnue sera elle-même traitée comme une variable aléatoire (appelée Taux de Risque), dont nous chercherons la densité. Voilà qui complique singulièrement les concepts.

Mais un séisme ou une inondation ne se décrivent pas de manière booléenne : il y en a ou il n'y en a pas, zéro ou un. Ils peuvent prendre diverses valeurs, ou magnitudes. Il y aura donc des classes de magnitude, et chaque classe aura son taux de risque. Voilà qui complique encore.

Une inondation peut affecter une large zone, et on voudra évaluer la probabilité qu'elle concerne une étendue donnée, avec diverses magnitudes selon les endroits. Pour cela, l'outil de base en probabilités se nomme "loi conjointe". On a normalement recours à une fonction de plusieurs variables et la loi conjointe se calcule au moyen d'intégrales multiples. Mais ici l'ensemble d'intégration est donné par un ensemble d'inégalités entre les variables ; il s'agit d'un "simplexe". Ce nom est bien mal choisi (mais il est consacré par l'usage), parce que ce simplexe est ici particulièrement complexe !

En sus des difficultés normalement inhérentes à la Théorie des Probabilités, nous avons donc à traiter de probabilités conditionnelles, et d'intégrales multiples en plusieurs variables sur des ensembles peu engageants. C'est ainsi et nous n'y pouvons rien !

En effet, ce que nous présentons peut s'appeler un "modèle minimal" ; nous faisons un nombre très restreint d'hypothèses, et notre construction s'efforce de décrire au mieux la réalité, avec ce petit nombre d'hypothèses. C'est parce qu'elles sont très faibles et très peu nombreuses qu'il faut travailler beaucoup. A l'inverse, on aurait pu faire une hypothèse très forte, comme le font beaucoup d'auteurs : déclarer par exemple que tout est linéaire, que tout suit une loi de Gauss, ou ce que l'on voudra. Alors la mise en place devient simple et tout le monde est content … si ce n'est que l'hypothèse de départ n'est pas correcte.

Les prérequis pour la lecture du présent ouvrage sont nos deux ouvrages précédents : [MPPR] Méthodes probabilistes pour l'étude des phénomènes réels, qui est très élémentaire, et [NMP] Nouvelles méthodes probabilistes pour l'évaluation des risques, qui l'est un peu moins.

Le bagage nécessaire pour la compréhension des intégrales multiples sur les simplexes est au moins du niveau Master 2. Il se trouve normalement dans les cours avancés de Théorie de l'Intégration.

Un point intéressant, susceptible de rassurer certains lecteurs, est que si le présent ouvrage est conceptuellement difficile, il est techniquement très simple. Ce sont les concepts qui posent problème, et non les calculs à faire. Par exemple, les intégrales portent généralement sur des monômes, quelquefois sur des polynômes. En tout cas, ce sont toujours des fonctions continues, pour lesquelles il n'y a aucun problème de définition.

Même si les concepts sont difficiles, ils peuvent à la fin être enfermés dans une "boîte noire" qui fera les calculs, si on lui fournit en entrée les données d'observation. Il en va de même généralement des lois de la physique : même si les équations de Navier-Stokes sont complexes, on peut les programmer sur un ordinateur qui les résoudra, au moins de manière approximative. Nous montrons ici comment programmer les calculs, de manière tout à fait opérationnelle.

Le but du présent ouvrage est simple à décrire : à partir d'un ensemble d'observations relatives à un phénomène, déterminer la loi de probabilité du taux de risque qui lui est associé.

Après une introduction, qui présente les généralités sur les situations rares et la manière dont la société les aborde en général, le livre est organisé en deux parties :

La première partie développe l'outil mathématique, au travers d'un exemple, celui des températures à Paris. Les données sont réelles, et ne sont nullement académiques, mais elles sont considérées comme exactes.

La seconde partie présente un exemple d'utilisation : calculs des probabilités de crues sur la Vienne et la Creuse, à partir des données contenues dans la "Banque Hydro". Ce travail a été mené à bien dans le cadre d'un contrat avec COSEA (Ligne à grande vitesse Sud Europe Atlantique), consortium mené par Vinci Construction Grands Projets. Une bonne partie du travail consiste en l'examen critique des données, et, comme on le verra, ce n'est nullement inutile.

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Table des matières

Avertissement 9
Remerciements 12
Introduction ; Situations rares et phénomènes extrêmes 13
I. Deux types de situations rares 13
II. Les normes usuelles 14
III. Mauvaise gestion des risques naturels 15
A. La gestion sociale des phénomènes naturels 16
B. Le pont de Sommières 17

Première Partie Outils mathématiques pour les risques extrêmes 21
Chapitre I : Quel formalisme mathématique adopter ? 23
I. Introduction 23
II. La stationnarité des lois 24
III. Indépendance 25
IV. Si l'on attend longtemps, le bizarre se produit toujours 25
V. Insuffisance des observations 26
VI. On n'a pas besoin de mesures précises 27
VII. Des modèles déterministes 28
A. La loi de Gumbel 28
B. Ajustement de la loi aux données 30
VIII. L'utilisation de modèles physiques 32
A. La météorologie 32
B. La sismologie 33
Chapitre II : Outils probabilistes 37
I. La notion de taux de risque 37
A. Le cas binaire 37
B. Le cas multinomial 41
1. Théorie 41
2. Etude graphique de la fonction 41
3. Un exemple 44
II. Présentation mathématique du problème 45
III. L'hypothèse mathématique de base 46
IV. La stationnarité de la loi 47
V. Le choix de la période de référence 47
VI. Les données de travail 48
VII. Calcul de l'intégrale d'un monôme 52
A. Historique des travaux 53
B. La méthode aléatoire 53
1. La théorie 53
2. Mise en œuvre pratique 56
3. Les limitations de la méthode aléatoire 60
C. Une méthode rapide et totalement déterministe 62
1. Cas de deux variables 62
2. Cas de trois variables 63
3. Ensemble d'intégration, cas général 64
4. Un premier changement de variables 65
5. Un second changement de variables 67
6. Le problème explicite 67
7. Calcul par récurrence 68
8. Mise en œuvre logicielle 71
VIII. Les résultats : probabilité relative de chaque classe 75
IX. Probabilités absolues pour chaque classe 77
A. Calcul par jour 78
B. Calculs sur une année 79
C. Calculs sur une durée quelconque 80
X. Le modèle mathématique obtenu 81
Chapitre III : Le concept de durée de retour 83
I. Introduction 83
II. Lien entre durée de retour moyenne et probabilité 83
III. Un paradoxe 84
IV. La loi de probabilité de la durée de retour moyenne 85
Chapitre IV : Compléments sur les taux de risque individuels 89
I. Moments d'ordre supérieur 89
II. La loi de probabilité de chaque taux de risque 90
A. La méthode aléatoire 90
B. La méthode déterministe 91
C. Calcul par itération, indice quelconque 92
Chapitre V : Traitement par discrétisation 95
I. Introduction 95
II. Bornes de variation 95
A. Exploitation de la condition 96
B. Exploitation des relations entre variables 96
III. La fonction à intégrer 97
IV. Traitement d'un exemple simple 99
V. Cas général 104
VI. Calcul explicite des sommes de Riemann 108
VII. Exemples simples 111
A. Exemple 1 111
B. Exemple 2 111
VIII. En conclusion 112
Chapitre VI : Dépendance du nombre de classes 113
I. Introduction 113
II. Un exemple simple 113
A. Cas de deux classes 114
B. Cas de trois classes 115
Chapitre VII : Loi conjointe pour les phénomènes extrêmes 119
I. Présentation du problème 119
II. Evaluation des taux de risques conjoints 122
A. Présentation théorique 122
B. Hypothèse de modèle 122
C. Méthode de calcul 124
1. Génération aléatoire de nombres de somme 1 124
2. Le nombre d'ordres possibles 124
3. Choix aléatoire d'un ordre admissible sur un tableau 125
4. Traitement complet d'un exemple simple : 125
5. Ordres admissibles, cas général 127
6. Calcul final de l'intégrale 128
7. Implémentation informatique 129
8. Les résultats 133
9. Analyse de complexité 134
III. En conclusion 135

Seconde partie : Traitement complet d'un exemple réel 137
Introduction 138
I. Incertitudes 138
II. Premières difficultés avec les crues 139
III. Trois stations 142
Chapitre I : Ajustement par loi de Gumbel : critique de la méthode 145
I. Données de base : 145
II. Principe de l'ajustement linéaire après passage au logarithme itéré 146
III. Les facéties de l'ajustement après passage au logarithme itéré 151
IV. Ajustement direct au moyen de la loi de Gumbel 154
Chapitre II : Analyse de la qualité des données 157
I. Situation des stations 157
II. Les débits douteux 158
III. Impact des travaux 158
IV. Vérification des données pour chaque station 159
A. Disponibilité des données 160
B. Comparaison des dates de crues 161
V. Comparaisons entre deux stations sur une même rivière 162
A. La Vienne à Ingrandes et Châtellerault 162
1. Méthodologie 162
2. Résultats 162
B. La Vienne à Nouâtre et la Vienne à Ingrandes 163
C. La Creuse à Leugny et la Vienne à Nouâtre 164
D. La Vienne à Ingrandes et la Creuse à Leugny 164
VI. En conclusion 165
Chapitre III : Analyse probabiliste des crues à Nouâtre 167
I. Introduction 167
II. L'histogramme des crues à Nouâtre 167
III. Situations extrêmes 170
A. Définition de la situation extrême 170
B. Approche théorique 170
C. Formulation mathématique 171
D. Calculs explicites 172
E. Les résultats 172
IV. Application à l'estimation absolue des probabilités des phénomènes extrêmes 174
A. La saisonnalité des crues 175
B. Estimation de la probabilité 176
C. Probabilités absolues par jour 177
D. Résultats par classe 177
E. Calcul des durées de retour 178
F. Variante : seuil à 2 000 m3/s 179
Chapitre IV : Crues en amont du confluent 181
I. La Vienne à Ingrandes 181
A. Données 181
B. Crues extrêmes 182
II. La Creuse à Leugny 184
A. Les données 184
B. Crues extrêmes 185
Chapitre V : Concomitances 189
I. Analyse des données 189
II. Cas des fortes crues 190
III. En conclusion 192
Chapitre VI : Incertitudes et réglementation 193
I. Où sont les incertitudes ? 193
II. Considérations réglementaires 194
III. Approche probabiliste proposée 195
IV. Recommandations générales 195
A. Sur les données 195
B. Sur la décision 197
Bibliographie 199


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